期权书钞：《动态对冲》与delta优化

本篇文章2557字，读完约6分钟

■“期权学院”第19号

你可能知道，畅销书《黑天鹅》(Black Swan)和《抗脆弱性》(Anti-脆弱性)的作者纳西姆塔勒布(nassim taleb)实际上是一位经验丰富的金融衍生品交易员，但你可能不明白，他也是一位对bs公式的坚定批评者。塔勒布和默顿曾有过几次论文对抗，甚至发表了一些论文，如“为什么我们从来没有使用布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价公式”，这些论文在标题上是无情的。在这一点上，bs公式的捍卫者也使用论文，如“为什么我们一直使用布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价公式。”还有传言说，默顿用塔勒布的文章作为学生“挑每个人的毛病”的问题集。

然而，至少在《动态套期保值:管理共同期权和奇异期权》一书中，Taleb承认，在实践中，使用一个简单而成熟的bs公式并适度调整和改进它比选择一个新颖但更复杂的公式更好。毕竟，前者仍可能被视为“已知的未知数”，而后者则是“未知的未知数”。对投资者来说更有价值的是，塔勒布在书中列出了一些可供参考的调整方法。这里，我们介绍一下塔勒布对德尔塔的思考和调整。

投资者熟悉德尔塔的定义:

■

也就是说，衍生产品价格f相对于基础资产价格u的一阶导数。一般而言，delta代表与基础资产价格变化相对应的风险敞口，可用于计算中性套期保值所需的基础资产数量。但是，在交易中简单地通过达美进行套期保值，或者持有达美限额将控制风险，这可能会带来很大的问题。试着用下面两个例子来说明。

示例1:使用delta度量风险

一个交易者买入1000个看涨期权，另一个交易者卖出1000个看跌期权。假设当前两个交易的增量是相同的，我们能认为它们的风险水平是相同的吗？通过绘制盈亏图，我们可以发现，一旦目标价格偏离当前位置，两次交易的风险就会大相径庭。当目标价格上升时，买卖交易将带来利润的增加，而买卖交易的利润将接近特许权使用费的数额。更大的风险在于目标价格的下降，此时，购买和认购交易将损失最多的特许权使用费，而卖出和卖出交易的损失将远远大于购买和认购交易的损失。

示例2:基于delta的中性套期保值

假设一个交易者持有以下头寸:购买一个行权价格为96、一个月到期日为100万美元的欧洲看涨期权，合约delta为0.824，即总共购买824，000美元delta。与此同时，卖出了行权价为104、一个月到期日为100万美元的欧洲看涨期权，合约德尔塔为0.198，总计卖出了198，000美元德尔塔。因此，交易者的总增量是626，000美元。根据传统方法，有必要现货卖出626，000美元进行对冲。表1显示了上述对冲后的投资组合回报。

表1:严格增量中性套期保值后的投资组合损益和增量

■

如果我们根据表1绘制，我们将会看到这样一条曲线:当目标价格在92.5到98.5之间时，投资组合处于亏损状态，但是亏损金额随着目标价格的增加而减少，并且斜率减小；当目标价格在98.5到102之间时，曲线几乎是水平的，表明投资组合的盈亏接近于0；当目标价格在102到108.5之间时，投资组合是有利可图的，并且利润随着目标价格而增加，斜率也增加。

从表1可以看出，在当前目标价格(100)附近，delta非常接近于零，这证明了交易者的delta中性套期保值操作是正确的。然而，在一个选项研讨会上，塔勒布问人们对表1中的职位有什么看法。只有一些没有交易经验的人回答“平”，所有的交易者回答“长”。

塔勒布然后建立了另一个组合。假设交易者没有卖出626，000美元的现货进行套期保值，而是卖出了550，000美元的现货，投资组合的损益和delta将显示在表2中。

表2:按调整比例对冲的投资组合的损益和增量

■

如果我们按照表2绘制，我们得到的曲线会发生变化:当目标价格从92.5到98.5时，综合损益将随着目标价格的增加而增加，第一个盈亏平衡点将在95左右达到；当目标价格在98.5-104.5之间时，综合损益随着目标价格的增加而恶化，第二个盈亏平衡点在101左右；当目标价格在104.5到108.5之间时，投资组合的盈亏将随着目标价格的增加而改善，第三个盈亏平衡点将在105到106之间。

从表2中可以看出，虽然该组合是空接近目标的当前价格，但该组合在更大范围内是中性的。表2显示套期保值效果可能更好:最大损失从-122减少到-65，最大回报也从171减少到107。然而，三角洲中立的目的正是如此。当然，对于效果是否真的更好有不同的看法。塔勒布还在同一个选项研讨会上展示了表2。这一次，人们的观点相对不同:更关注极端情况的人认为，当股价大幅上涨时，投资组合受益，当股价大幅下跌时，投资组合亏损，他们感觉更接近于做更多的事情；那些关心基础资产微小变化的人觉得这种组合就是空；那些关注目标中期波动的人认为，投资组合相对平坦。因此，投资者应该使用delta作为套期保值比率吗？这取决于投资者对基础资产波动性的预期和他们自己的效用曲线。在上面的例子中，如果投资者判断基础资产波动极小，或者愿意每5分钟对冲一次以确保投资组合总是严格中性的，那么卖出626，000美元是更好的选择；如果投资者认为标的资产价格有可能突破狭窄区间，或者希望控制套期保值频率以节省交易成本，他们应该重新考虑合适的套期保值比率。

从以上例子中，投资者已经可以看出达美的问题。■在delta的定义中，意味着基础资产价格的无限小变化，bs公式的建立也依赖于对应于这种无限小变化的连续时间套期保值。然而，由于最小报价单位的存在，不可能实现这样无限小的变化；即使存在无穷小的变化，持续套期保值的收入也难以弥补交易成本。因此，根据德尔塔的风险管理可能不会取得最佳结果。

塔勒布建议可以使用一个修正的增量。修改后的增量定义如下:

■

这个定义在形式上似乎没有什么变化，但它已经从连续套期保值转变为更实用的离散套期保值。然而，它假设资产价格只朝一个方向变化，这并不完美。进一步优化如下:

■

其中■和■是基础资产的向下和向上变化。

从上述公式可以看出，投资者可以根据对目标波动的预期和自己的效用曲线来确定目标的波动范围，并计算出相应的增量，这适合于自己的套期保值比率和风险度量。这个离散的δ同时包含一些二阶导数和三阶导数，这使得δ在数学意义上更加完美。